Luật lệ: Để nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các hạng tử lại với nhau.
Bạn thấy: Tích của đơn thức x và đa thức x-1 là
Thêm thông tin: Với A, B, C là các đơn thức ta có: A.(B + C) = AB + AC
Ví dụ:
3x. (x3 + 2x – 5) = 3x.x3 + 3x.2x – 3x.5 = 3×4 + 6×2 – 15x.
13x2yx3−12xy2=13x2y.x3−13x2y.12xy2=13x5y−16x3y3.
Lưu ý: Chúng ta thường sử dụng phép toán liên quan đến số mũ khi nhân:
Với m, n và các số tự nhiên a ≠ 0, ta có:
am.an = am+n
am : an = am-n (với m ≥ n)
(và) n = am.n
2. Nhân đa thức với đa thức
Luật lệ: Để nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân một hạng tử của đa thức này với mỗi hạng tử của đa thức kia rồi cộng các hạng tử lại với nhau.
Thêm thông tin: Với A, B, C, D là một đơn thức, ta có:
(A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD.
Bình luận: Tích của hai đa thức là một đa thức.
Ví dụ:
a) (x + 3) (x2 + x – 5)
= x.x2 + xx – x.5 + 3.x2 + 3.x – 3.5
= x3 + x2 – 5x + 3×2 + 3x – 15
= x3 + (x2 + 3×2) + (3x – 5x) – 15
= x3 + 4×2 – 2x – 15
b) 12xy+3(2xy−8)
= x2y2 – 4xy + 6xy – 24
= x2y2 + (6xy – 4xy) – 24
= x2y2 + 2xy – 24
3. Những hằng số giống nhau khó quên
3.1. Thang tiền.
Bình phương của một số bằng bình phương của số thứ nhất cộng với hai lần số thứ nhất và số thứ hai cộng với bình phương của số thứ hai.
Với A, B là các hằng số, ta có: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2.
Ví dụ:
(x + 3)2 = x2 + 2.x.3 + 32 = x2 + 6x + 9.
(2a + b)2 = (2a)2 + 2.2ab + b2 = 4a2 + 4ab + b2.
3.2. Dòng của sự khác biệt.
Bình phương của hiệu bằng bình phương của số thứ nhất trừ đi hai lần tổng của số thứ nhất, và số thứ hai cộng với bình phương của số thứ hai.
Với A, B là các số hạng lẻ, ta có:(A – B)2 = A2 – 2AB + B2
Ví dụ: y−142=y2−2.y.14+142=y2−12y+116.
(3x – y)2 = (3x)2 – 2.3xy + y2 = 9×2 – 6xy + y2
3.3. Sự khác biệt giữa hai.
Hiệu của hai bình phương bằng hiệu của tổng của chúng.
Với A, B là các hằng số, ta có: A2 – B2 = (A – B)(A + B).
Ví dụ:
m2 – 4 = m2 – 22 = (m – 2)(m + 2)
(2a – b) (2a + b) = (2a)2 – b2 = 4a2 – b2
3.4. Lập phương của một tổng.
Lập phương của một số bằng lập phương của số thứ nhất cộng ba lần tổng bình phương của số thứ nhất hai lần tổng của số thứ nhất nhân bình phương của số thứ hai cộng với lập phương của số thứ hai. .
Với A, B là các hằng số, ta có: (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3.
Ví dụ:
x3+13=x33+3×32.1+3.×3.12+13=x327+x23+x+1
(2m + n)3 = (2m)3 + 3.(2m)2.n + 3,2m.n2 + n3 = 8m3 + 12m2n + 6mn2 + n3.
3.5. Một khối biểu tượng.
Lập phương của hiệu bằng lập phương của số thứ nhất trừ ba lần bình phương của số thứ nhất nhân với số thứ hai cộng ba lần tổng của số thứ nhất nhân với bình phương của số thứ hai trừ đi lập phương của số thứ hai. .
Với A, B là các hằng số, ta có: (A – B)3 = A3 – 3A2B + 3 AB2 – B3
Ví dụ:
12−y3=123−3.122.y+3.12.y2−y3=18−34y+32y2−y3.
(x2 – y)3 = (x2)3 – 3.(x2)2.y + 3.×2.y2 – y3 = x6 – 3x4y + 3x2y2 – y3.
3.6. Tổng của hai lập phương.
Tổng lập phương của hai từ bằng tổng của hai từ và bình phương hiệu của hai từ đó.
Với A, B là hai số hạng đối nhau, ta có: A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
Hãy cẩn thận: A2 – AB + B2 được gọi là bình phương còn thiếu của hiệu.
Ví dụ:
x3 + 43 = (x + 4) (x2 – 4x + 42) = (x + 4) (x2 – 4x + 16)
127+u3=133+u3=13+u132−13u+u2=13+u19−u3+u2
3.7. Sự khác biệt giữa hai loại.
Hiệu của lập phương hai số hạng bằng tích của hiệu hai số hạng đó và căn bậc hai của tổng hai số hạng đó.
Với A, B là hai số hạng đối nhau, ta có: A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)
Hãy cẩn thận: A2 + AB + B2 gọi là bình phương bé nhất của tỉ số.
Ví dụ:
x3 – (2y)3 = (x – 2y)
27a3 – 1 = (3a)3 – 13 = (3a – 1) = (3a – 1) (9a2 + 3a + 1)
4. Đa thức nhân tử
Ý tưởng: Bao thanh toán (hoặc bao thanh toán) một đa thức đang chuyển đổi một đa thức thành một sản phẩm của đa thức.
4.1. Đa thức nhân tử và nhân tử chung
Phương pháp: Khi tất cả các hạng tử của một đa thức đều có nhân tử chung, ta đặt nhân tử chung ngoài dấu ngoặc () để làm nhân tử chung.
– Biểu thức bên trong dấu ngoặc đơn () nhận được bằng cách chia một hạng tử của đa thức cho một nhân tử chung.
Ví dụ:
a) x2 – 3x = xx – 3.x = x(x – 3).
b) (y + 3)2 + 3(y + 3) = (y + 3).(y + 3) + 3.(y + 3) = (y + 3)(y + 3 + 3) = ( y + 3)(y + 6).
Hãy cẩn thận:Trong hầu hết các trường hợp, để một đối tượng chung xuất hiện, chúng ta phải thay đổi dấu của từ (xem tính chất A = – (- A)).
Ví dụ:
3(x – y ) – 10x(y – x) = 3(x – y) + 10x(x – y) = (x – y)(3 + 10x).
4.2. Phân tích đa thức bằng cách sử dụng cùng một phương pháp
Khi sử dụng phương pháp dùng hằng đẳng thức để sinh đa thức ta phải lưu ý:
– Trước hết xét biểu thức đa thức có nhân tử chung hay không, nếu có thì dùng phương pháp nhân tử chung.
– Ngược lại, ta có thể dùng các đẳng thức sau để tính đa thức:
1) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
2) (A – B)2 = A2 – 2AB + B2
3) A2 – B2 = (A – B)(A + B)
4) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
5) (A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3
6) A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
7) A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)
Ví dụ: Nhân đa thức x3 + 3×2 + 3x – 7.
Trả lời:
x3 + 3×2 + 3x – 7
= x3 + 3×2 + 3x + 1 – 8
=(x + 1)3 – 23
=(x + 1 – 2)
= (x – 1)(x2 + 2x + 1 + 2x + 2 + 4)
= (x – 1)(x2 + 4x + 7).
4.3. Phân tích đa thức bằng cách sử dụng phương pháp nhóm thuật ngữ
– Phân tích nhân tử cho đa thức bằng phương pháp nhóm từ là phương pháp đặt các hạng tử thích hợp xuất hiện phổ biến hoặc sử dụng các hạng tử tương tự nhau.
– Ta sử dụng thuật ngữ nhóm nhân tử khi không thể nhân tử đa thức bằng phương pháp đặt nhân tử thông thường hoặc dùng đẳng thức liên tục.
Ví dụ: Biến đổi đa thức x2 – 4x + xy – 4y.
Trả lời:
x2 – 4x + xy – 4y
= (x2 – 4x) + (xy – 4y)
= x(x – 4) + y(x – 4)
= (x – 4)(x + y)
4.4. Phân tích đa thức bằng các phương pháp khác nhau
Khi nhân đa thức thành nhân tử của biểu thức phức, ta thường sử dụng kết hợp ba phương pháp nhân tử đa thức: phương pháp nhân tử thông thường, phương pháp phương trình liên tục, phương pháp nhóm.
Hãy cẩn thận: Nếu biểu thức của đa thức có một nhân tử bằng nhau, chúng ta phải sử dụng phương pháp đầu tiên đã biết để rút gọn đa thức và tiếp tục phân tích cho đến khi có kết quả cuối cùng.
Ví dụ: Bắt đầu đa thức x3y + 6x2y2 + 9xy.
Trả lời:
x3y + 6x2y2 + 9xy
=xy(x2 + 6xy + 9)
= xy(x2 + 2.xy.3 + 32)
= xy(x + 3)2
5. Chia đơn thức cho đơn thức
Ý tưởng: Cho A, B là các đơn thức, B ≠ 0 .
Ta nói đơn thức A chia hết cho đơn thức B nếu ta lấy đơn thức Q sao cho
MỘT = BQ
A gọi là đơn thức bị chia, B gọi là đơn thức bị chia, Q gọi là đơn thức có thương.
Biểu tượng: Q = A: B hoặc Q=AB.
Bình luận: Đơn thức A chia hết cho đơn thức B khi mọi dạng của B là một dạng khác của A với số mũ không lớn hơn số mũ của nó trong A.
Luật lệ: Để chia đơn thức A cho đơn thức B (nếu A chia hết cho B) ta làm như sau:
– Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B.
– Chia lực của mỗi sự thay đổi ở A cho lực của cùng một sự thay đổi ở B.
– Nhân các kết quả bạn được với nhau.
Hãy cẩn thận: Với mọi x 0, m, n ∈ ℕ, mn thì
xm : xn = xm-n nếu m>n
xm : xn = 1 nếu m = n.
Ví dụ:
a) 15x2y5z : 5xy3z = (15 : 5)(x2 : x) (y5 : y3)(z : z) = 3xy2.
b) 35x5y2 : (−7x4y) =(x5 : x4)(y2: y) = −5xy.
6. Chia đa thức cho đơn thức
Luật lệ: Để chia đa thức A cho đơn thức B (nếu đa thức A chia hết cho B) ta làm như sau:
– Chia bất kỳ biểu thức nào của đa thức A cho đơn thức B;
– Cộng các kết quả lại với nhau.
Hãy cẩn thận: Trong thực tế, chúng ta có thể thực hiện một số phép toán điên rồ và loại bỏ các phép tính trung gian.
Ví dụ: (15x2y + 17xy3 – 6xy): 3xy
= (15x2y : 3xy) + (17xy3 : 3xy) – (6xy : 3xy)
=5x+173y2−2.
Hãy cẩn thận: Nếu đa thức A khả tích ta thường phân tích A trước để rút gọn cho nhanh.
Ví dụ:(8×3 – 27y3) : (2x – 3y)
= (2x – 3y) (4×2 + 6xy + 9y2): (2x – 3y)
= 4×2 + 6xy + 9y2.
7. Chúng được sắp xếp vào một phần của đa thức
7.1. Tách ra:
Phép chia hết là phép chia có dư một đa thức bằng 0.
Lệnh tách:
+ Sắp xếp đa thức theo thứ tự giảm dần của biến.
+ Chia ước dài nhất cho ước dài nhất được thương là 1.
+ Nhân thương 1 với đa thức bị chia và trừ đi thừa số cho đa thức bị chia.
+ Lấy số hạng lớn nhất của đa thức vừa tìm được chia cho số hạng lớn nhất của đa thức ta được thương 2.
+ Tiếp tục lặp lại các bước trên cho đến khi khác biệt bằng 0.
Ví dụ: Chia: (x3 – x2 – 5x – 3) : (x – 3).
Trả lời:
Chúng ta có:
Vậy (x3 – x2 – 5x – 3): (x – 3) = x2 + 2x + 1.
7.2. Chia cho số dư:
Số hạng có số dư là số hạng có đa thức dư.
Lệnh tách: Lặp lại phép chia cho đến khi bạn tìm thấy bậc của phần còn lại của đa thức nhỏ hơn bậc của ước số.
Hãy cẩn thận: Cho hai đa thức bất phương trình A và B đồng dạng (B 0) chỉ tồn tại hai đa thức Q và R sao cho A = BQ + R mà R = 0 hay bậc của R nhỏ hơn B (R gọi là phần còn lại trong phần của A và B).
Khi R = 0, phân phối của A và B bị chia cắt.
Ví dụ: Chia: (3×3 + 2×2 + 5x–3): (x2 + 1).
Xem thêm: 72 – Chọn câu trả lời đúng
Trả lời:
Chúng ta có:
Vậy (3×3 + 2×2 + 5x – 3) : (x2 + 1) = 3x + 2 (số dư 2x – 5)
Hoặc 3×3 + 2×2 + 5x – 3 = (x2 + 1).(3x + 2) + 2x – 5.
